Question

6．已知ω＞0，0＜φ＜π，直線(xiàn)x=$\frac{π}{4}$和x=$\frac{5π}{4}$是函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）圖象的兩條相鄰的對(duì)稱(chēng)軸，則
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+$\sqrt{3}cos（x+\frac{π}{4}），當(dāng)x∈[{0，π}]時(shí)，求h（x）的單調(diào)減區(qū)間$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出ω、φ的值，得出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)f（x）寫(xiě)出h（x）并化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出h（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：（1）由題意可知函數(shù)f（x）的最小正周期為
T=2×（$\frac{5π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=2π，即$\frac{2π}{ω}$=2π，ω=1；  …（2分）
∴f（x）=sin（x+φ）；
令x+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，…（3分）
將x=$\frac{π}{4}$代入可得φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z；
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{π}{4}$；  …（4分）
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）；  …（5分）
（2）∵f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴h（x）=f（x）+$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{4}$）
=sin（x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{4}$）
=2×[$\frac{1}{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）]
=2sin（x+$\frac{7π}{12}$），…（8分）
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{7π}{12}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{12}$+2kπ≤x≤$\frac{11π}{12}$+2kπ，k∈Z；
∵x∈[0，π]，
∴h（x）的單調(diào)減區(qū)間為[0，$\frac{11π}{12}$]．       …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．