Question

已知f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0且a≠1）是奇函數(shù)
（1）求m值
（2）討論f（x）單調(diào)性
（3）若a=

1

2

，對x∈[3，4]，不等式f（x）＞（

1

2

）^x+t恒成立，求實(shí)數(shù)t取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接由奇函數(shù)的概念列式求得m的值；
（2）求出函數(shù)f（x）的定義域，分析內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，然后討論a的范圍得到外層函數(shù)的單調(diào)性，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得答案；
（3）取a=

1

2

時(shí)求出x∈[3，4]時(shí)函數(shù)的最小值，把不等式轉(zhuǎn)化為-1＞(

1

2

)x+t恒成立，分離參數(shù)t后再由函數(shù)的單調(diào)性求出實(shí)數(shù)t取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0且a≠1）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即loga

1+mx

-x-1

=loga

x-1

1-mx

，
∴

1+mx

-x-1

=

x-1

1-mx

，
m²=1，解得m=±1．
當(dāng)m=1時(shí)原函數(shù)無意義，
∴m=-1；
（2）f(x)=loga

1+x

x-1

，
由

x+1

x-1

＞0，得x＜-1或x＞1．
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）．
領(lǐng)t=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

．
當(dāng)x∈（-∞，-1），（1，+∞）時(shí)，函數(shù)t=1+

2

x-1

為減函數(shù)，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f(x)=loga

1+x

x-1

的減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f(x)=loga

1+x

x-1

的增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）．
（3）a=

1

2

時(shí)，f(x)=log

1

2

x+1

x-1

=log2

x-1

x+1

在[3，4]上為增函數(shù)，
此時(shí)f（x）∈[-1，log2

3

5

]．
要使不等式f（x）＞（

1

2

）^x+t恒成立，
則需-1＞(

1

2

)x+t恒成立，
即t＜-(

1

2

)x-1恒成立．
∴t＜-

1

8

-1=-

9

8

．
∴實(shí)數(shù)t取值范圍是(-∞，-

9

8

)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，訓(xùn)練了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．