Question

已知向量

a

=（x²-3x，1），

b

=（x，-tx+2），定義f（x）=

a

•

b

，有f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（k，3）．
（Ⅰ）求函數(shù)式y(tǒng)=f（x）及k的值；
（Ⅱ）若對?x∈[-2，4]，總有|f（x）-m|≤16（m∈Z），求實數(shù)m的值；
（Ⅲ）若過點（-2，n）能作出函數(shù)f（x）的三條切線，求實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)恒成立問題,函數(shù)在某點取得極值的條件,平面向量數(shù)量積的運算

專題：導數(shù)的綜合應用,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)量積的坐標運算容易求出f（x）=x³-3x²-tx+2，并且知道k，3是方程f′（x）=0的兩個根，這樣即可求出t，n；
（Ⅱ）由于求m的范圍，由不等式得到：f（x）-16≤m≤f（x）+16，所以要求f（x）-16的最大值，求f（x）+16的最小值，即求f（x）的最大值和最小值，可以通過求f′（x），判斷函數(shù)f（x）在[-2，4]的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）的極值和端點值，從而求出最值；
（Ⅲ）設(shè)出切點（t，t³-3t²-9t+2），根據(jù)函數(shù)在切點處的導數(shù)和切線斜率的關(guān)系建立關(guān)于t和n的方程：2t³-3t²-12t-20-n=0，該方程有三個根，令g（t）=2t³-3t²-12t-20-n，則g（t）有三個零點．這時候，求g′（t），需要極大值大于0，極小值小于0，從而求出n的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（x²-3x）x-tx+2=x³-3x²-tx+2，f′（x）=3x²-6x-t；
由已知條件知：k，3是方程3x²-6x-t=0的兩根；
由根與系數(shù)的關(guān)系得：

3+k=2 3k=- t 3

解得k=-1，t=9．
∴f（x）=x³-3x²-9x+2，f′（x）=3x²-6x-9．
（Ⅱ）解3x²-6x-9=0得：x=-1或3．
∴x∈[-2，-1）時，f′（x）＞0；x∈（-1，3）時，f′（x）＜0；x∈（3，4]時，f′（x）＞0；
∴f（x）的極大值是f（-1）=7，極小值是f（3）=-25，又f（-2）=0，f（4）=-18；
∴-25≤f（x）≤7；
又-16≤f（x）-m≤16，f（x）-16≤m≤f（x）+16；
∴-9≤m≤-9；
∴m=-9．
（Ⅲ）設(shè)切點為（t，t³-3t²-9t+2），f′（t）=3t²-6t-9；
又切線過點（-2，n）；
∴

t3-3t2-9t+2-n

t+2

=3t2-6t-9；
整理得：2t³-3t²-12t-20-n=0；
由題意知該方程有三個零點，令g（t）=2t³-3t²-12t-20-n；
則g′（t）=6t²-6t-12；
∴t∈（-∞，-1）時，g′（t）＞0；t∈（-1，2）時，g′（t）＜0；t∈（2，+∞）時，g′（t）＞0；
∴g（t）的極大值是g（-1）=-13-n，g（t）的極小值是g（2）=-40-n；
則：

-13-n＞0 -40-n＜0

，解得-40＜n＜-13．
∴實數(shù)n的取值范圍為（-40，-13）．

點評：考查數(shù)量積的坐標運算，通過求函數(shù)導數(shù)，根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)極值的概念求出極值，再求出區(qū)間的端點值，從而求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，函數(shù)在切點處的導數(shù)與切線斜率的關(guān)系，若函數(shù)有三個零點，需滿足極大值大于0，極小值小于0．