Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+b（a，b∈R），曲線f（x）在x=1處的切線方程為x﹣y﹣1=0．
（1）求a，b的值；
（2）證明：f（x）+ ≥1；
（3）已知滿足xlnx=1的常數(shù)為k．令函數(shù)g（x）=mex+f（x）（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），若x=x0是g（x）的極值點，且g（x）≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的導(dǎo)函數(shù) ，

由曲線f（x）在x=1處的切線方程為x﹣y﹣1=0，

知f'（1）=1，f（1）=0，

所以a=1，b=0

（2）證明：令 = ，

則 = ，

當(dāng)0＜x＜1時，u'（x）＜0，u（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時，u'（x）＞0，u（x）單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)x=1時，u（x）取得極小值，也即最小值，該最小值為u（1）=0，

所以u（x）≥0，即不等式 成立

（3）解：函數(shù)g（x）=mex+lnx（x＞0），則 ，

當(dāng)m≥0時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，g（x）無極值，不符合題意；

當(dāng)m＜0時，由 ，得 ，

結(jié)合y=ex， 在（0，+∞）上的圖象可知，

關(guān)于x的方程 一定有解，其解為x0（x0＞0），

且當(dāng)0＜x＜x0時，g'（x）＞0，g（x）在（0，x0）內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)x＞x0時，g'（x）＜0，g（x）在（x0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．

則x=x0是函數(shù)g（x）的唯一極值點，也是它的唯一最大值點，

x=x0也是g'（x）=0在（0，+∞）上的唯一零點，

即 ，則 ．

所以g（x）max=g（x0）= = ．

由于g（x）≤0恒成立，則g（x）max≤0，即 ，（*）

考察函數(shù) ，則 ，

所以h（x）為（0，+∞）內(nèi)的增函數(shù)，且 ， ，

又常數(shù)k滿足klnk=1，即 ，

所以，k是方程 的唯一根，

于是不等式（*）的解為x0≤k，

又函數(shù) （x＞0）為增函數(shù)，故 ，

所以m的取值范圍是

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由已知切線的方程，可得a，b的值；（2）令 = ，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極小值且為最小值，即可得證；（3）g（x）=mex+lnx（x＞0），求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，討論m的符號，判斷g（x）的單調(diào)性，得到x的方程 一定有解，其解為x0（x0＞0），判斷為g（x）的最大值點，考察函數(shù) ，求出導(dǎo)數(shù)，

由零點存在定理可得k是方程 的唯一根，即可得到所求m的范圍．