19.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=$\sqrt{3}$,且a2=b2+c2-bc,則△ABC的面積S的最大值為( 。
A.$\frac{\sqrt{3}}{4}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$D.$\sqrt{3}$

分析 由已知及余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$,解得A=$\frac{π}{3}$,由余弦定理可得:b2+c2=3+bc,利用基本不等式可求bc≤3,根據(jù)三角形面積公式即可得解.

解答 解:∵a2=b2+c2-bc,
∴由余弦定理可得:cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$,A為三角形內(nèi)角,解得A=$\frac{π}{3}$,
∵a=$\sqrt{3}$,
∴3=b2+c2-bc,可得:b2+c2=3+bc,
∵b2+c2≥2bc(當且僅當b=c時,等號成立),
∴2bc≤3+bc,解得bc≤3,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
故選:C.

點評 本題主要考查了余弦定理,基本不等式,三角形面積公式在解三角形中的綜合應用,考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力,屬于中檔題.

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