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已知二函數f（x）=ax2+bx+5（x∈R）滿足以下要求：
①函數f（x）的值域為[1，+∞）；②f（-2+x）=f（-2-x）對x∈R恒成立．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設M（x）=
f(lnx)
lnx+1
，求x∈[e，e2]時M（x）的值域．
考點：二次函數的性質
專題：函數的性質及應用
分析：（1）配方，利用對稱軸和值域求參數，
（2）將M（x）化簡，然后通過換元法利用基本不等式求值域．
解答： 解：（1）∵f（x）=ax2+bx+5=a（x+
b
2a
）2+5-
b2
4a
，
又∴f（-2+x）=f（-2-x），
∴對稱軸為x=-2=-
b
2a
，
∵值域為[-2，+∞），
∴a＞0且5-
b2
4a
=1，
∴a=1，b=4，則函數f（x）=x2+4x+5，
（2）∵M（x）=
f(lnx)
lnx+1
=
(lnx)2+4lnx+5
lnx+1
，
∵x∈[e，e2]，∴令t=lnx+1，則t∈[2，3]，
∴
(lnx)2+4lnx+5
lnx+1
=
(t-1)2+4(t-1)+5
t
=
t2+2t+2
t
=t+
2
t
+2，
∵t∈[2，3]，∴t+
2
t
+2∈[5，
17
3
]，
∴所求值域為：[5，
17
3
]．
點評：本題考查二次函數的性質和換元法求函數的值域，難點是換元法的使用，注意換元要注明范圍．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2+（a+2）x+b，滿足f（-1）=-2；
（1）若方程f（x）=2x有唯一的解，求實數a，b的值；
（2）若函數f（x）在區(qū)間[-3，2]上不是單調函數，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知sin（3π+α）=lg
1
310
，則tan（π+α）的值是（　　）
A、-
2
4
B、
2
4
C、±
2
4
D、
2
8

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=sinx，g（x）=mx-
x3
6
（m為實數）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點P（
π
4
，f（
π
4
））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數g（x）的單調減區(qū)間；
（Ⅲ）若m=1，證明：當x＞0時，x＞f（x）＞g（x）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=lnx+ax+
a+1
x
+3（a∈R）．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）當a=1時，若關于x的不等f（x）≥m2-5m恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）當a≥-
1
2
時，討論f（x）的單調性．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設二次函數f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值為5，且關于x的不等式f（x）＜0的解集為區(qū)間（0，4）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若對于任意的x∈R，不等式f（2-2cosx）＜f（1-cosx-m）恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=f（x）是定義域為R的偶函數．當x≥0時，f（x）=
5
2
x2(0≤x≤1)
(
1
2
)x+2(x＞1)
，若關于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且僅有6個不同實數根，則實數a的取值范圍是（　�。�
A、（-5，-3）∪（-1，0）
B、(-5，-2)∪(-
9
2
，
9
2
)
C、(-5，-
9
2
)∪(-
9
2
，-2)
D、（-
9
2
，-2)∪(-2，-1)

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）=
x+5，x≤-1
x2，-1＜x＜1
-2x，x≥1

（1）求f（-3）；f[f（-5）]；
（2）畫出函數f（x）的圖象，并求出值域；
（3）若f（a）=
1
2
，求a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=-x2+2x，x∈[-1，2]，則f（x）的值域為
 
．

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