已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)。
（Ⅰ）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（Ⅱ）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，證明：.

（Ⅰ）當時， ；當時， ；
當時， .（Ⅱ）的范圍為.

解析試題分析：（Ⅰ）易得，再對分情況確定的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)在上的單調(diào)性即可得在上的最小值.（Ⅱ）設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點，注意到.聯(lián)系到函數(shù)的圖象可知，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，在區(qū)間內(nèi)存在零點，即在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點. 由（Ⅰ）可知，當及時，在內(nèi)都不可能有兩個零點.所以.此時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，且必有.由得：，代入這兩個不等式即可得的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）
①當時，，所以.
②當時，由得.
若，則；若，則.
所以當時，在上單調(diào)遞增，所以.
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.
當時，在上單調(diào)遞減，所以.
（Ⅱ）設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點，則由可知，
在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減.
則不可能恒為正，也不可能恒為負.
故在區(qū)間內(nèi)存在零點.
同理在區(qū)間內(nèi)存在零點.
所以

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，。
（1）求函數(shù)在上的值域；
（2）若，對，恒成立，
求實數(shù)的取值范圍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，,為自然對數(shù)的底數(shù).
（I）求函數(shù)的極值；
（2）若方程有兩個不同的實數(shù)根，試求實數(shù)的取值范圍；

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設(shè)函數(shù)
（1）若時，函數(shù)有三個互不相同的零點，求的取值范圍；
（2）若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點，求的取值范圍；
（3）若對任意的，不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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函數(shù)f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，求a的取值范圍.

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已知函數(shù)
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若對于任意的，都存在，使得，求的取值范圍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).
，
(1)求的表達式；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)，比較與的大小，并加以證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)，函數(shù)．
(1)若x=2是函數(shù)的極值點，求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，若≤0對一切都成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)（R），為其導(dǎo)函數(shù)，且時有極小值．
（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若，，當時，對于任意x，和的值至少有一個是正數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若不等式（為正整數(shù)）對任意正實數(shù)恒成立，求的最大值．

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