Question

12．兩個(gè)距離為3的平行平面截球O所得兩個(gè)截面圓的半徑分別為$\sqrt{3}$和2，則球O的表面積為$\frac{208}{9}π$．

Answer 1

分析 分析出兩個(gè)截面所存在的兩種情況，求出球的半徑，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)球心到截面的距離分別為d₁，d₂，球的半徑為R．
如圖①所示．當(dāng)球的球心在兩個(gè)平行平面的外側(cè)時(shí)，
這兩個(gè)平面間的距離為球心與兩個(gè)截面圓的距離之差．
即d₁-d₂=$\sqrt{{R}^{2}-3}$-$\sqrt{{R}^{2}-4}$=3，無(wú)解．
如圖②所示．當(dāng)球的球心在兩個(gè)平行平面的之間時(shí)，
這兩個(gè)平面間的距離為球心與兩個(gè)截面圓的距離之和．
即d₂+d₁=$\sqrt{{R}^{2}-3}$+$\sqrt{{R}^{2}-4}$=3，所以R=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$．
所以球O的表面積為$\frac{208}{9}π$
故答案為：$\frac{208}{9}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)平行平面間的距離計(jì)算問(wèn)題．此題重點(diǎn)考查球中截面圓半徑，球半徑之間的關(guān)系以及空間想象能力和計(jì)算能力．