Question

11．已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且滿足2S_n=3a_n-3（n∈N₊），等差數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且b₅+b₁₃=34，T₃=9．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}的通項公式為c_n=a_nb_n，問是否存在互不相等的正整數(shù)m，k，r使得m，k，r成等差數(shù)列，且c_m，c_k，c_r成等比數(shù)列？若存在，求出m，k，r；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式和數(shù)列的遞推公式，即可求出答案，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知C_n=（2n-1）•3ⁿ，假設(shè)存在互不相等且大于2的正整數(shù)m，k，r滿足條件，得出矛盾即可．

解答 解：（Ⅰ）由2S_n=3a_n-3（n∈N₊）令n=1可知a₁=3，
當(dāng)n≥2時，有2S_n-1=3a_n-1-3，兩式相減得2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴${a_n}={3^n}$．                    
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，依題意得，$\left\{{\begin{array}{l}{2{b_1}+16d=34}\\{3{b_1}+3d=9}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{b_1}=1}\\{d=2}\end{array}}\right.$，
∴b_n=2n-1；
（Ⅱ）由（1）可知${c_n}={a_n}{b_n}=（2n-1）{3^n}$，
假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)m，k，r，使得m，k，r成等差數(shù)列，且c_m，c_k，c_r成等比數(shù)列．則${c_k}^2={c_m}{c_r}$，
即（2k-1）²•3^2k=（2m-1）（2r-1）•3^m+r．（*），
由m，k，r成等差數(shù)列，得2k=m+r，所以3^2k=3^m+r．
所以由（*）得（2k-1）²=（2m-1）（2r-1）．即4k²-4k+1=4mr-2（m+r）+1，
又2k=m+r，所以k²=mr，即${（\frac{m+r}{2}）^2}=mr$，即（m-r）²=0即m=r．這與m≠r矛盾，
所以，不存在滿足條件的正整數(shù)m，k，r，使得m，k，r成等差數(shù)列，且c_m，c_k，c_r成等比數(shù)列．

點評 本題是一道關(guān)于數(shù)列遞推式的綜合題，考查分析問題、解決問題的能力，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．