Question

函數(shù)y=sinxcos²x在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值是（　　）

• A、0
• B、

  4

  27

• C、

  2 3

  9

• D、1

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：令sinx=t可得t∈[0，1]，y=t-t³，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)y在[0，

3

3

]上是增函數(shù)；在（

3

3

，1]上是減函數(shù)．可得當(dāng)t=

3

3

時，函數(shù)y=t-t³ 取得最大值，計算求得結(jié)果．

解答： 解：函數(shù)y=sinxcos²x=sinx（1-sin²x）=sinx-sin³x，令sinx=t，
由x∈區(qū)間[0，

π

2

]，可得t∈[0，1]，y=t-t³．
∵y′=1-3t²，令y′=0，求得t=

3

3

，在[0，

3

3

]上，y′＞0，函數(shù)y是增函數(shù)；在（

3

3

，1]上，y′＜0，y是減函數(shù)．
故當(dāng)t=

3

3

時，函數(shù)y=t-t³ 取得最大值為

2 3

9

，
故選：C．

點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．