Question

6．如圖，在四棱錐A-BCC₁B₁中，等邊三角形ABC所在平面與正方形BCC₁B₁所在平面互相垂直，BC=2，M，D分別為AB₁，CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BD⊥AB₁；
（Ⅱ）求三棱錐M-ABD的體積．

Answer 1

分析 （1）取BC中點(diǎn)E，連接AE，B₁E，則BD⊥平面AEB₁，從而得出BD⊥AB₁；
（2）設(shè)BD與B₁E交點(diǎn)為F，則三棱錐M-ABD可分解成兩個(gè)小棱錐，即棱錐B-AMF和棱錐D-AMF，兩個(gè)小棱錐底面相同，高度之和為BD，故只需計(jì)算△AMF的面積就可以求出大棱錐的體積．

解答 解：（1）取BC中點(diǎn)E，連接AE，B₁E，設(shè)BD與B₁E交點(diǎn)為F．
∵△ABC是等邊三角形，∴AE⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，∴AE⊥平面BCC₁B₁，
∵BD?平面BCC₁B₁，∴AE⊥BD．
∵四邊形BCC₁B₁是正方形，M，D分別為AB₁，CC₁的中點(diǎn)，∴BE=DM=$\frac{1}{2}$BC=1，BB₁=BC=2，∠BCD=∠B₁BC=90°，
∴△BCD≌△B₁BE，∴∠CBD=∠BB₁E，
∵∠CBD+∠B₁BF=90°，∴∠BB₁E+∠B₁BF=90°，∴∠BFB₁=90°，∴B₁E⊥BD．
∵AE?平面AB₁E，BE?平面AB₁E，AE∩BE=E，∴BD⊥平面AB₁E，
∵AB₁?平面AB₁E，∴BD⊥AB₁．
（2）連接AF，MF，
∵AB=BB₁，∴△ABB₁是等腰三角形，∵M(jìn)是AB₁的中點(diǎn)，∴BM⊥AB₁，
又∵BD⊥AB₁．BD?平面BDM，BM?平面BDM，BM∩BD=B，∴AB₁⊥平面BDM，
∵M(jìn)F?平面BDM，∴MF⊥AB₁．∴△B₁MF∽△B₁EA，∴$\frac{MF}{AE}$=$\frac{{B}_{1}M}{{B}_{1}E}$，
∵BC=2，∴AE=$\sqrt{3}$，BD=B₁E=$\sqrt{5}$，AB₁=2$\sqrt{2}$，∴AM=B₁M=$\frac{1}{2}$AB₁=$\sqrt{2}$，
∴MF=$\frac{AE•{B}_{1}M}{{B}_{1}E}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$．
∴S_△AMF=$\frac{1}{2}$AM•MF=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴V_棱錐M-ABD=V_棱錐B-AMF+V_棱錐D-AMF=$\frac{1}{3}$•S_△AMF•BF+$\frac{1}{3}$•S_△AMF•DF=$\frac{1}{3}$•S_△AMF•BD=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{15}}{5}$×$\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的性質(zhì)與判斷和棱錐的體積求法，將要求的棱錐分解成兩個(gè)同底小棱錐是解題的關(guān)鍵，計(jì)算量較大．