Question

18．已知正項等比數列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，若存在兩項a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，則$\frac{1}{m}$+$\frac{5}{n}$的最小值為（　　）

• A． $1+\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• B． $\frac{7}{4}$
• C． 2
• D． $\frac{11}{4}$

Answer 1

分析 由正項等比數列通項公式結合已知條件求出q=2，再由$\sqrt{{a_m}{a_n}}=4{a_1}$，求出m+n=6，由此利用均值定理能求出結果．

解答 解：∵正項等比數列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，
∴${a_1}{q^6}={a_1}{q^5}+2{a_1}{q^4}$，
整理，得q²-q-2=0，又q＞0，解得，q=2，
∵存在兩項a_m，a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=4{a_1}$，
∴${a_1}^2{q^{m+n-2}}=16{a_1}^2$，
整理，得2^m+n-2=16，即m+n=6，
∴$\frac{1}{m}+\frac{5}{n}=\frac{1}{6}（m+n）（\frac{1}{m}+\frac{5}{n}）=\frac{1}{6}（6+\frac{n}{m}+\frac{5m}{n}）≥1+\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
當且僅當$\frac{n}{m}$=$\frac{5m}{n}$取等號，但此時m，n∉N^*．又m+n=6，
所以只有當m=2，n=4時，取得最小值是$\frac{7}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查代數式的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意正項等比數列的性質和均值定理的合理運用．