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已知橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為的菱形的四個頂點.
（I）求橢圓的方程；
（II）直線與橢圓交于，兩點，且線段的垂直平分線經過點，求（為原點）面積的最大值.

(I)  ； (II)  ．

解析試題分析：(I)由圖形的對稱性及橢圓的幾何性質，易得 ，進而寫出方程； (II) ΔAOB的面積可以用 ，所以本題需要用弦長公式表示AB的長度，用點到之間的距離公式表示坐標原點O到直線的距離，而這些都需要有直線的方程作為前提條件。所以本題應先考慮設出直線AB的方程．此外，設方程的過程中，注意對于特殊情形的討論．
試題解析：
(I)因為橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2，
一內角為的菱形的四個頂點,
所以,橢圓的方程為                                     4分
(II)設因為的垂直平分線通過點， 顯然直線有斜率，
當直線的斜率為時,則的垂直平分線為軸,則
所以
因為，
所以，當且僅當時，取得最大值為       7分
當直線的斜率不為時,則設的方程為
所以，代入得到
當,            即                         
方程有兩個不同的解
又，                                       8分
所以，
又，化簡得到                     
代入，得到                                                    10分
又原點到直線的距離為

所以
化簡得到                                             12分        
因為，所以當時，即時，取得最大值
綜上，面積的最大值為．
考點：直線與圓錐曲線的位置關系．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：（）上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為，左、右焦點分別為，，點是右準線上任意一點，過作直 線的垂線交橢圓于點．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）點的縱坐標為3，過作動直線與橢圓交于兩個不同點，在線段上取點，滿足，試證明點恒在一定直線上．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

動點與定點的距離和它到直線的距離之比是常數,記點的軌跡為曲線.
（I）求曲線的方程；
（II）設直線與曲線交于兩點，為坐標原點，求面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓C： 的左、右焦點分別為，離心率為，點A是橢圓上任一點，的周長為.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點任作一動直線l交橢圓C于兩點，記，若在線段上取一點R，使得，則當直線l轉動時，點R在某一定直線上運動，求該定直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，
線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（Ⅲ）設與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知△的兩個頂點的坐標分別是，且所在直線的斜率之積等于．
（Ⅰ）求頂點的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；
（Ⅱ）當時，過點的直線交曲線于兩點，設點關于軸的對稱
點為(不重合) 試問：直線與軸的交點是否是定點？若是，求出定點，若不是，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知、是橢圓的左、右焦點，且離心率，點為橢圓上的一個動點，的內切圓面積的最大值為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 若是橢圓上不重合的四個點，滿足向量與共線，與共
線，且，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（13分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣1，0），F2（1，0），且橢圓C經過點．
（I）求橢圓C的離心率：
（II）設過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且，求點Q的軌跡方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，拋物線

（I）；
（II）

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