Question

2．已知α，β，γ均為銳角，且cos²α+cos²β+cos²γ=1，求證：$\frac{3π}{4}$＜α+β+γ＜π．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，構(gòu)造一個長方體ABCD-A′B′C′D′，使其三邊分別為cosα、cosβ、cosγ，由且cos²α+cos²β+cos²γ=1知，其對角線長為1；由此得α=∠A′AC′，β=∠BAC′，γ=∠DAC′都是銳角，利用三面角A-A′C′B證明α+β+γ＞$\frac{3π}{4}$；三面角A-BA′C′證明α+β+γ＜π即可．

解答 解：如圖所示，
 構(gòu)造一個長方體ABCD-A′B′C′D′，使其三邊分別為cosα、cosβ、cosγ，
由且cos²α+cos²β+cos²γ=1知，其對角線長為1；
由C′D⊥AD，AA′⊥AC，C′B⊥AB，
得α=∠A′AC′，β=∠BAC′，γ=∠DAC′都是銳角；
在三面角A-A′C′B中，∠A′AC′+∠C′AB＞∠A′AB=$\frac{π}{2}$，
則α+β＞$\frac{π}{2}$，同理，β+γ＞$\frac{π}{2}$，所以α+β+γ＞$\frac{3π}{4}$；
又取AC′的中點(diǎn)O，連接OA′、OB′、OC′，由O是長方體的中心，
得∠C′OA′=2α，∠C′OB=2β，∠C′OD=2γ，
易知△C′OD≌△A′OB，則∠A′OB=∠C′OD=2γ；
在三面角A-BA′C′中，∠C′OA′＞∠C′OB＞∠A′OB，
且∠C′OA′+∠C′OB+∠A′OB＜2π，
即2α+2β+2γ＜2π，所以α+β+γ＜π，
從而$\frac{3π}{4}$＜α+β+γ＜π．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)與證明問題，也考查了等價轉(zhuǎn)化思想，是難題．