Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D是B1C1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：A1D⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直線(xiàn)A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（I）∵AB=AC=2，D是B1C1的中點(diǎn)．

∴A1D⊥B1C1，

∵BC∥B1C1，

∴A1D⊥BC，

∵A1O⊥面ABC，A1D∥AO，

∴A1O⊥AO，A1O⊥BC

∵BC∩AO=O，A1O⊥A1D，A1D⊥BC

∴A1D⊥平面A1BC

解：（II）

建立坐標(biāo)系如圖

∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4

∴O（0，0，0），B（0， ，0），B1（﹣ ， ， ），A1（0，0， ）

即 =（0， ，﹣ ）， =（0， ，0）， =（ ，0， ），

設(shè)平面BB1C1C的法向量為 =（x，y，z），

即得出

得出 =（ ，0，1），| |=4，| |=

∵ = ，

∴cos＜ ， ＞= = ，

可得出直線(xiàn)A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值為

【解析】（I）連接AO，A1D，根據(jù)幾何體的性質(zhì)得出A1O⊥A1D，A1D⊥BC，利用直線(xiàn)平面的垂直定理判斷．（II）利用空間向量的垂直得出平面BB1C1C的法向量 =（ ，0，1），|根據(jù)與 數(shù)量積求解余弦值，即可得出直線(xiàn)A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】掌握直線(xiàn)與平面垂直的判定和空間角的異面直線(xiàn)所成的角是解答本題的根本，需要知道一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線(xiàn)，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．