Question

下列命題是真命題的有

 

①若m是兩個正數2，8的等比中項，則圓錐曲線x²+

y2

m

=1的離心率為

3

2

或

5

；
②若過雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標原點，則|OM|=a；
③已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，且過點M（3，0），則橢圓的標準方程是 

x2

9

+

y2

81

=1；
④若x²+y²=2，則2^x+y的最大植為4；
⑤直線l：x-2y+2=0過橢圓的左焦點F₁和一個頂點B，該橢圓的離心率為

2

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①由等比中項的概念求得m值，分類求解圓錐曲線的離心率；
②由題意求出一個焦點坐標，由點到直線的距離公式求出焦點到一條漸近線的距離，由勾股定理求解|OM|；
③分別設出兩種形式的標準方程，代入點的坐標求解橢圓的標準方程；
④由圓的參數方程得到x，y，求出x+y的最大值，則答案可求；
⑤求出直線在兩坐標軸上的截距，得到b，c的值，進一步求得a的值，則橢圓的離心率可求．

解答： 解：①若m是兩個正數2，8的等比中項，則m²=16，m=±4．
當m=4時，a2=4，b2=1，c=

4-1

=

3

，e=

3

2

．
當m=-4時，a2=1，b2=4，c=

1+4

=

5

，e=

5

．
則圓錐曲線x²+

y2

m

=1的離心率為

3

2

或

5

，命題①為真命題；
②過雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點F（c，0），作它的一條漸近線bx-ay=0的垂線，
垂足為M，O為坐標原點，則|FM|=

|bc|

a2+b2

=b，|OM|=

c2-b2

=a，命題②為真命題；
③已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，當焦點在x軸時，設橢圓方程為

x2

9m2

+

y2

m2

=1，代入M（3，0），
得

9

9m2

=1，m²=1，橢圓方程為

x2

9

+y2=1．
當焦點在y軸時，設橢圓方程為

x2

m2

+

y2

9m2

=1，代入M（3，0），得

9

m2

=1，m²=9．
則橢圓的標準方程是

x2

9

+y2=1或

x2

9

+

y2

81

=1，命題③為假命題；
④若x²+y²=2，令x=

2

cosθ，y=

2

sinθ，則x+y=2sin（θ+

π

4

），（x+y）_max=2，2^x+y的最大植為4，
命題④正確；
⑤直線l：x-2y+2=0過橢圓的左焦點F₁和一個頂點B，則c=2，b=1，a=

1+4

=

5

，該橢圓的離心率為

2

5

=

2 5

5

，命題⑤錯誤．
∴真命題有①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了圓錐曲線的性質，訓練了函數最值得求法，考查了學生綜合解決問題的能力，是中高檔題．