Question

給出下列四個(gè)命題：
①若y=±

3

x是一個(gè)雙曲線的兩條漸近線，則這個(gè)雙曲線的離心率為2；
②設(shè)l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，則m⊥β；
③若P或q 為假命題，則p、q均為假命題；
④若f（x）=1-|x-1|（x＞0），則函數(shù)F（x）=xf（x）-1只有一個(gè)零點(diǎn)，
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡(jiǎn)易邏輯

分析：①，依題意，可求得個(gè)雙曲線的離心率為2或

2 3

3

，從而可判斷①的正誤；
②，不妨令m?β，顯然m不垂直于β，從而可判斷②的正誤；
③，利用真值表可判斷③的正誤；
④，通過對(duì)x分0＜x＜1與x≥1的情況的討論，可求得函數(shù)F（x）=xf（x）-1的零點(diǎn)，從而可判斷④的正誤．

解答： 解：①，∵y=±

3

x是一個(gè)雙曲線的兩條漸近線，
∴

b

a

=

3

或

a

b

=

3

，
若

b

a

=

3

時(shí)，不妨令b=

3

，a=1，則c²=a²+b²=4，e=

c

a

=2；
若

a

b

=

3

，同理可得e=

2 3

3

故①錯(cuò)誤；
②，α⊥β，α∩β=l，m⊥l，若m?β，顯然m不垂直于β，故②錯(cuò)誤；
③，若P或q為假命題，則p、q均為假命題，正確；
④，∵f（x）=1-|x-1|（x＞0），
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=x，F(xiàn)（x）=xf（x）-1=x²-1∈（0，1），F(xiàn)（x）=x²-1無零點(diǎn)；
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=2-x，F(xiàn)（x）=xf（x）-1=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)（x）=xf（x）-1只有一個(gè)零點(diǎn)1，故④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查雙曲線的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)、復(fù)合命題的真假判斷及線面位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．