7.已知函數(shù)f(x)=-$\frac{1}{3}$x3+x2+ax+b在x=3取得極值為4,則f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值為( 。
A.-1B.0C.-$\frac{4}{3}$D.-$\frac{13}{3}$

分析 求出函數(shù)的導數(shù),利用函數(shù)的極值求出a,b,然后判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可.

解答 解:f'(x)=-x2+2x+a,由題意知$\left\{\begin{array}{l}f'(3)=0\\ f(3)=4\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}-9+6+a=0\\-\frac{1}{3}×27+{3^2}+3a+b=4\end{array}\right.$,解答$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-5\end{array}\right.$.
∴$f(x)=-\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+3x-5$,f'(x)=-x2+2x+3,
由f'(x)=-x2+2x+3=0得x=-1,x=3,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]遞減,在區(qū)間[-1,1]遞增.
又$f(1)=-\frac{4}{3}$,$f(-1)=-\frac{13}{3}$,
所以 f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值為$-\frac{4}{3}$.
故選:C.

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用,函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的應用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

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