Question

5．代數(shù)式2$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x的最小值是（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)代數(shù)式等于y，兩邊平方后整理成關(guān)于x的一元二次方程，由△≥0，可求得y的范圍，然后確定最小值．

解答 解：令y=2$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x，并且y＞0，則y²+2xy=3x²+4，
變形為3x²-2yx+4-y²=0，把它看作是關(guān)于x的一元二次方程，并且x有值；
故△=（2y）²-4×3（4-y²）=4y²-12≥0．
所以，y≥$\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，y取最小值$\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了建立方程的思想和一元二次方程根的判別式．當(dāng)一元二次方程有解時(shí)，△≥0．同時(shí)考查了不等式的解法．