Question

把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線折起，使其成為四面體ABCD，則下列命題：
①三棱錐A-BCD體積的最大值為

2

12

；
②當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)直線BD和平面ABC所成的角的大小為45°；
③B、D兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是（0，

2

）；
④當(dāng)二面角D-AC-B的平面角為90°時(shí)，異面直線BC與AD所成角為45°；
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：當(dāng)角D-AC-B的平面角為90°時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大，由此能判斷①的正誤碼；當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，∠DBO是直線BD和平面ABC所成的角，由此能判斷②的正誤；B、D兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是[0，

2

]；當(dāng)二面角D-AC-B的平面角為90°時(shí)，異面直線BC與AD所成角為90°．

解答： 解：當(dāng)角D-AC-B的平面角為90°時(shí)，
三棱錐A-BCD的體積最大，
最大值為V_max=

1

3

×

2

2

×(

1

2

×1×1)=

2

12

，故①正確；
當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，
DO⊥面ABC，DO=BO=

2

2

，
∠DBO是直線BD和平面ABC所成的角，
∴直線BD和平面ABC所成的角的大小為45°，故②正確；
B、D兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是[0，

2

]，故③錯(cuò)誤；
當(dāng)二面角D-AC-B的平面角為90°時(shí)，異面直線BC與AD所成角為90°，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．