Question

如圖：長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=AA₁=2，E為AB上一點(diǎn)，且AE=2EB，F(xiàn)為CC₁的中點(diǎn)，P為C₁D₁上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EF⊥CP時(shí)，PC₁=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PC₁=2．

解答： 解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，
AD=AA₁=2，E為AB上一點(diǎn)，且AE=2EB，
F為CC₁的中點(diǎn)，P為C₁D₁上動(dòng)點(diǎn)，
∴E（2，0，0），F(xiàn)（3，2，1），C（3，2，0），
設(shè)P（a，2，2），
∴

EF

=（1，2，1），

CP

=(a-3，0，2)，
∵EF⊥CP，
∴

EF

•

CP

=a-3+2=0，解得a=1，
∴P（1，2，2），∵C₁（3，2，2），
∴

PC1

=（2，0，0），∴|

PC1

|=2，
∴PC₁=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段長(zhǎng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．