已知a>0,函數(shù)f(x)=
1
3
a2x3-ax2+
2
3
,g(x)=-ax+1,x∈R

(Ⅰ)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)在點(1,f(1))的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[-1,1]的極值;
(Ⅲ)若在區(qū)間(0,
1
2
]
上至少存在一個實數(shù)x0,使f(x0)>g(x0)成立,求正實數(shù)a的取值范圍.
分析:(I)求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)即切線的斜率,利用直線方程的點斜式求出切線的方程.
(II)求出導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)為求出兩個根,兩個的大小引起討論;判斷導(dǎo)函數(shù)在根左右兩邊的符號,判斷出函數(shù)的單調(diào)性,利用極值的定義求出函數(shù)的極值.
(III)構(gòu)造新函數(shù),求出新函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,將問題轉(zhuǎn)化為最大值大于0,求出a的范圍.
解答:解:∵f′(x)=a2x2-2ax
(I)當(dāng)a=1時,f′(1)=-1,f(1)=0
所以f(x)在點(1,f(1))的切線方程為y=-x+1
(II)令f′(x)=0得x1=0, x2=
2
a

(1)當(dāng)0<
2
a
<1即a>2時
,
x∈(-1,0)時,f′(x)>0,f(x)遞增
x∈(0,
2
a
)時,f′(x)<0,f(x)遞減
x∈(
2
a
,1)時,f′(x)>0,f(x)遞增

所以當(dāng)x=0時,有極大值
2
3
;當(dāng)x=
2
a
有極小值
2a-4
3a

(2)當(dāng)
2
a
≥1即0<a≤2時
,f(x)在(-1,0)上遞增,在(0,1)遞減
所以f(x)極大值為f(0)=
2
3
,無極小值
(III)設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=
1
3
a2x3-ax2+ax-
1
3
,x∈(0,
1
2
]

F′(x)=a2x2-2ax+a=a2x2+a(1-2x)
x∈(0,
1
2
],a>0

∴F′(x)=a2x2+a(1-2x)>0
F(x)在區(qū)間(0,
1
2
]上為增函數(shù)

F(x)max=F(
1
2
)

依題意,只需F(x)max>0
1
3
a2×
1
8
-a×
1
4
+a×
1
2
-
1
3
>0

解得a>-3+
17
或a<-3-
17
(舍去)

所以實數(shù)a的取值范圍是(-3+
17
,+∞)
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義|在切點處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率、考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值、求函數(shù)的最值、考查不等式有解問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
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已知a>0,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0,則下列選項的命題中為假命題的是( 。
A、?x∈R,f(x)≤f(x0B、?x∈R,f(x)≥f(x0C、?x∈R,f(x)≤f(x0D、?x∈R,f(x)≥f(x0

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已知a>0,函數(shù)f(x)=ln(2-x)+ax.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線為l,若l與圓(x+1)2+y2=1相切,求a的值.

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已知a>0,函數(shù)f(x)=ln(2-x)+ax.
(1)設(shè)曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線為l,若l與圓(x+1)2+y2=1相切,求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值.

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已知a>0,函數(shù)f(x)=lnx-ax2,x>0.(f(x)的圖象連續(xù)不斷)
(Ⅰ)當(dāng)a=
1
8

①求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
②證明:存在x0∈(2,+∞),使f(x0)=f(
3
2
);
(Ⅱ)若存在均屬于區(qū)間[1,3]的α,β,且β-α≥1,使f(α)=f(β),證明
ln3-ln2
5
≤a≤
ln2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a>0,函數(shù)f(x)=
|x-2a|
x+2a
在區(qū)間[1,4]上的最大值等于
1
2
,則a的值為
 

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