Question

3．等腰直角三角形ABC中，直角邊AB所在直線方程為y=2x，斜邊BC中點D坐標為（4，2），求直角邊AC所在直線方程．

Answer 1

分析 設斜邊BC所在直線的斜率為k，AB所在直線的斜率為k₀，顯然k₀=2，求出直線BC的方程，聯立方程組求出B，C的坐標，即可求出直線AC的方程．

解答 解：設斜邊BC所在直線的斜率為k，AB所在直線的斜率為k₀，顯然k₀=2
則∵BC與AB的夾角為45°
故|$\frac{{k}_{0}-k}{1+k•{k}_{0}}$|=1，
即1+2k=±（2-k），
解得 k=$\frac{1}{3}$ 或 k=-3
（1）當k=$\frac{1}{3}$時，BC所在直線的方程為 y-2=$\frac{1}{3}$（x-4），或 x-3y+2=0
與y=2x聯立得 B（$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$），故C（$\frac{38}{5}$，$\frac{16}{5}$）
∵AB⊥AC，∴AC所在直線斜率k₁=-$\frac{1}{2}$，
AC所在直線方程為 y-$\frac{16}{5}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{38}{5}$）
即 x+2y-14=0
（2）當k=-3時，AB所在直線的方程為 y-2=-3（x-4），或 3x+y-14=0
與y=2x聯立得 B（$\frac{14}{5}$，$\frac{18}{5}$），故C（$\frac{26}{5}$，$\frac{2}{5}$）
∵AB⊥AC，∴AC所在直線斜率k₁=-$\frac{1}{2}$，
AC所在直線方程為 y-$\frac{2}{5}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{26}{5}$）
即 x+2y-6=0

點評 本題考查了直線方程的求法，中點坐標公式，屬于中檔題．