Question

如圖，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D、E分別是BC、A₁B₁的中點．
（Ⅰ）證明：BE∥平面A₁DC₁；
（Ⅱ）若AB=BC=AA₁=1，∠ABC=90°．
求二面角B₁-BC₁-E的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取A₁C₁的中點F，連接EF，DF，根據中位線定理可知EF∥B₁C₁且，而EF∥BD，且EF=BD，則四邊形EFDB是平行四邊形，從而BE∥DF，DF?平面A₁DC₁，BE?平面A₁DC₁，滿足線面平行的判定定理所需條件，從而證得BE∥平面A₁DC₁；
（Ⅱ）連接B₁C交BC₁于O點，連接EO，EB₁⊥B₁C₁，BB₁⊥EB₁，B₁C₁∩BB₁=B₁，根據線面垂直的判定定理可知EB₁⊥平面BC₁B₁，根據二面角平面角的定義可知∠EOB₁是二面角B₁-BC₁-E的平面角，在直角△EOB₁中，求出此角的正切值即為所求．
解答：（Ⅰ）證明：取A₁C₁的中點F，連接EF，DF，…（1分）
∵E是A₁B₁的中點，∴EF∥B₁C₁且
又∵四邊形BCB₁C₁是矩形，D是BC的中點，∴EF∥BD，且EF=BD
∴四邊形EFDB是平行四邊形，∴BE∥DF…（4分）
∵DF?平面A₁DC₁，BE?平面A₁DC₁
∴BE∥平面A₁DC₁…（6分）
（Ⅱ）解：連接B₁C交BC₁于O點，連接EO…（7分）
∵∠ABC=90°，
∴∠A₁B₁C₁=90，即 EB₁⊥B₁C₁．
又∵BB₁⊥EB₁，B₁C₁∩BB₁=B₁，∴EB₁⊥平面BC₁B₁，…（9分）
∵BC=AA₁=1，∴BC=BB₁=1，且四邊形BCB₁C₁是正方形，
∴B₁O⊥BC₁，…（10分）
∵EB₁⊥平面B₁C₁B，∴B₁O為EO在平面BCB₁上的射影，
∵B₁O⊥BC₁∴EO⊥BC₁，∴∠EOB₁是二面角B₁-BC₁-E的平面角…（11分）
在直角△EOB₁中，，，
∴，…（13分）
∴二面角B₁-BC₁-E的正切值．…（14分）
點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及二面角平面角的度量，同時考查了推理能力和計算能力，解決該題的關鍵是尋找二面角的平面角．