19.若函數(shù)f(x)=Asin($\frac{π}{2}$x+φ)(A>0)滿足f(1)=0,則(  )
A.f(x-2)一定是奇函數(shù)B.f(x+1)一定是偶函數(shù)
C.f(x+3)一定是偶函數(shù)D.f(x-3)一定是奇函數(shù)

分析 由已知求得φ,分類求出f(x)的解析式,然后利用誘導公式逐一化簡四個函數(shù)并判斷其奇偶性得答案.

解答 解:由f(1)=Asin($\frac{π}{2}$+φ)=Acosφ=0,得φ=$\frac{π}{2}+kπ$,k∈Z.
∴f(x)=Asin($\frac{π}{2}$x+φ)=Asin($\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}+kπ$),k∈Z.
當k為偶數(shù)時,f(x)=Acos$\frac{π}{2}x$,
當k為奇數(shù)時,f(x)=-Acos$\frac{π}{2}x$.
∴f(x)=Acos$\frac{π}{2}x$或f(x)=-Acos$\frac{π}{2}x$.
f(x-2)=Acos($\frac{π}{2}x-π$)=-Acos$\frac{π}{2}x$或f(x-2)=Acos$\frac{π}{2}x$,為偶函數(shù);
f(x+1)=Acos($\frac{π}{2}x+\frac{π}{2}$)=-Asin$\frac{π}{2}x$或f(x+1)=Asin$\frac{π}{2}x$,為奇函數(shù);
f(x+3)=Acos($\frac{π}{2}x+\frac{3π}{2}$)=Asin$\frac{π}{2}x$或f(x+3)=-Asin$\frac{π}{2}x$,為奇函數(shù);
f(x-3)=Acos($\frac{π}{2}x-\frac{3π}{2}$)=-Asin$\frac{π}{2}x$或f(x-3)=Asin$\frac{π}{2}x$,為奇函數(shù).
故選:D.

點評 本題考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查了誘導公式的應用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法,是中檔題.

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