Question

已知直線l過點P（2，1）與雙曲線x²-

y2

4

=1相交于A、B兩點，若P為AB的中點，則直線l的方程為

8x-y-15=0

．

Answer 1

分析：利用平方差法：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入雙曲線方程然后作差，由中點坐標公式及斜率公式可求得直線l的斜率，再用點斜式即可求得直線方程．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
則x₁²-

y12

4

=1，x₂²-

y22

4

=1，
兩式相減得（x₁-x₂）（x₁+x₂）-

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0，
所以

y1-y2

x1-x2

=

4(x1+x2)

y1+y2

=8，即k_AB=8，
故所求直線方程為y-1=8（x-2），即8x-y-15=0．
故答案為：8x-y-15=0．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查直線方程的求法，涉及弦中點問題，往往考慮利用“平方差法”加以解決．