【題目】已知函數(shù)f(x)=x3 (k+1)x2+3kx+1,其中k∈R.
(1)當(dāng)k=3時,求函數(shù)f(x)在[0,5]上的值域;
(2)若函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值為3,求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)解:k=3時,f(x)=x3﹣6x2+9x+1,

則f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3),

令f′(x)=0得x1=1,x2=3,列表如下:

x

0

(0,1)

1

(1,3)

3

(3,5)

3

f′(x)

+

0

0

+

f(x)

1

單調(diào)遞增

5

單調(diào)遞減

1

單調(diào)遞增

21

由上表知函數(shù)f(x)的值域為[1,21]


(2)解:方法一:f′(x)=3x2﹣3(k+1)x+3k=3(x﹣1)(x﹣k)

①當(dāng)k≤1時,x∈[1,2],f'(x)≥0,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]單調(diào)遞增

所以

(舍)

②當(dāng)k≥2時,x∈[1,2],f'(x)≤0,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]單調(diào)遞減

所以f(x)min=f(2)=8﹣6(k+1)+3k2+1=3

符合題意

③當(dāng)1<k<2時,

當(dāng)x∈[1,k)時,f'(x)<0f(x)區(qū)間在[1,k)單調(diào)遞減

當(dāng)x∈(k,2]時,f'(x)>0f(x)區(qū)間在(k,2]單調(diào)遞增

所以

化簡得:k3﹣3k2+4=0

即(k+1)(k﹣2)2=0

所以k=﹣1或k=2(舍)

注:也可令g(k)=k3﹣3k2+4

則g′(k)=3k2﹣6k=3k(k﹣2)

k∈(1,2),g′(k)≤0,

g(k)=k3﹣3k2+4在k∈(1,2)單調(diào)遞減

所以0<g(k)<2不符合題意

綜上所述:實數(shù)k取值范圍為k≥2

方法二:f′(x)=3x2﹣3(k+1)x+3k=3(x﹣1)(x﹣k)

①當(dāng)k≥2時,x∈[1,2],f'(x)≤0,

函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]單調(diào)遞減

所以f(x)min=f(2)=8﹣6(k+1)+3k2+1=3

符合題意

②當(dāng)k≤1時,x∈[1,2],f'(x)≥0,

函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]單調(diào)遞增

所以f(x)min<f(2)=3不符合題意

③當(dāng)1<k<2時,

當(dāng)x∈[1,k)時,f'(x)<0f(x)區(qū)間在[1,k)單調(diào)遞減,

當(dāng)x∈(k,2]時,f'(x)>0f(x)區(qū)間在(k,2]單調(diào)遞增,

所以f(x)min=f(k)<f(2)=3不符合題意,

綜上所述:實數(shù)k取值范圍為k≥2


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的值域即可;(2)法一(二):通過討論k的范圍,求出函數(shù)的最小值,結(jié)合函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值為3,求出k的范圍即可.
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

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