Question

8．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=3，則$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$=（　　）

• A． 3
• B． -3
• C． $\frac{9}{2}$
• D． -$\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 由題意，畫出圖形，利用向量的平行四邊形法則得到對角線長度的關(guān)系，求出OC，得到△ABC 的形狀即可求得．

解答 解：由平面向量的平行四邊形法則得到，在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$|，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=3，如圖，設|OC|=x，則|OA|=$\sqrt{3}$x，所以|AO|²+|OC|²=|AC|²即3x²+x²=9，解得x=$\frac{3}{2}$，
所以|BC|=3，所以△ABC為等邊三角形，所以$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$=3×3×$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$；
故選：C．

點評 本題考查向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)量積的計算公式；關(guān)鍵是正確判斷三角形的形狀．