【題目】考慮下面兩個定義域為(0,+∞)的函數(shù)f(x)的集合:對任何不同的兩個正數(shù),都有,=對任何不同的兩個正數(shù),都有
(1)已知,若,且,求實數(shù)和的取值范圍
(2)已知,且的部分函數(shù)值由下表給出:
比較與4的大小關(guān)系
(3)對于定義域為的函數(shù),若存在常數(shù),使得不等式對任何都成立,則稱為的上界,將中所有存在上界的函數(shù)組成的集合記作,判斷是否存在常數(shù),使得對任何和,都有,若存在,求出的最小值,若不存在,說明理由
【答案】(1)當(dāng)a≥0,b<0時,f(x)∈Ω1且f(x)Ω2;(2)2d+t<4;(3)0.
【解析】
(1)根據(jù):f(x)∈Ω1且f(x)Ω2,可利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得a的范圍,利用導(dǎo)數(shù)求出b的范圍.
(2)由f(x)∈Ω1,取0<x1<x2<x1+x2,可得.由表格可知:f(a)=d,f(b)=d,f(c)=t,f(a+b+c)=4,0<a<b<c<a+b+c,利用函數(shù)為增函數(shù)可得,再利用不等式的性質(zhì)即可得出.
(3)根據(jù)增函數(shù)先證明f(x)≤0對x∈(0,+∞)成立.再證明f(x)=0在(0,+∞)上無解.即可得出.
(1)由:對任何不同的兩個正數(shù),都有,=對任何不同的兩個正數(shù),都有,
可得函數(shù)y,y在(0,+∞)為增函數(shù),
y2x2+2ax+b,若f(x)∈Ω1,則0,即a≥0
y2x+a,
y′=2,
當(dāng)b≥0,x>0時,y′>0,此時f(x)∈Ω2,不符合題意,舍去;
當(dāng)b<0時,令y′=0,解得x,此時函數(shù)在x∈(0,+∞)有極值點,因此f(x)Ω2.
綜上可得:當(dāng)b<0時,f(x)∈/span>Ω1且f(x)Ω2.
(2)由f(x)∈Ω1,若取0<x1<x2,
則.
由表格可知:f(a)=d,f(b)=d,f(c)=t,f(a+b+c)=4,
∵0<a<b<c<a+b+c,
∴,
∴d<0,d,d,t,
∴2d+t=4.
(3)∵對任何f(x)∈T和x∈(0,+∞),都有f(x)<M,
先證明f(x)≤0對x∈(0,+∞)成立.
假設(shè)存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)>0,
記m>0
∵y是增函數(shù).
∴當(dāng)x>x0時,m>0,
∴f(x)>mx2,
∴一定可以找到一個x1>x0,使得f(x1)>mx12>k,
這與f(x)<k 對x∈(0,+∞)成立矛盾.
即f(x)≤0對x∈(0,+∞)成立.
∴存在f(x)∈T,f(x)≤0對x∈(0,+∞)成立.
下面證明f(x)=0在(0,+∞)上無解.
假設(shè)存在x2>0,使得f(x2)=0,
∵y是增函數(shù).
一定存在x3>x2>0,使0,這與上面證明的結(jié)果矛盾.
∴f(x)=0在(0,+∞)上無解.
綜上,我們得到存在f(x)∈T,f(x)<0對x∈(0,+∞)成立.
∴存在常數(shù)M≥0,使得存在f(x)∈T,x∈(0,+∞),有f(x)<M成立.
又令f(x)(x>0),則f(x)<0對x∈(0,+∞)成立,
又有在(0,+∞)上是增函數(shù),
∴f(x)∈T,
而任取常數(shù)k<0,總可以找到一個xn>0,使得x>xn時,有f(x)>k.
∴M的最小值為0.
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【題目】函數(shù)的定義域為,函數(shù).
(1)若時,的解集為,求;
(2)若存在使得不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知,,其中.
(1)若,令函數(shù),解不等式;
(2)若,,求的值域;
(3)設(shè)函數(shù),若對于任意大于等于2的實數(shù),總存在唯一的小于2的實數(shù),使得成立,試確定實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在點處切線的方程;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)時,恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】已知為正整數(shù)且,將等式記為式.
(1)求函數(shù),的值域;
(2)試判斷當(dāng)時(或2時),是否存在,(或,,)使式成立,若存在,寫出對應(yīng),(或,,),若不存在,說明理由;
(3)求所有能使式成立的()所組成的有序?qū)崝?shù)對.
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【題目】若函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)有極值.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)的極值;
(3)若關(guān)于x的方程有三個零點,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】過去大多數(shù)人采用儲蓄的方式將錢儲蓄起來,以保證自己生活的穩(wěn)定,考慮到通貨膨脹的壓力,如果我們把所有的錢都用來儲蓄,這并不是一種很好的方式,隨著金融業(yè)的發(fā)展,普通人能夠使用的投資理財工具也多了起來,為了研究某種理財工具的使用情況,現(xiàn)對年齡段的人員進行了調(diào)查研究,將各年齡段人數(shù)分成5組,,,,,,并整理得到頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求圖中的值;
(Ⅱ)求被調(diào)查人員的年齡的中位數(shù)和平均數(shù);
(Ⅲ)采用分層抽樣的方法,從第二組、第三組、第四組中共抽取8人,在抽取的8人中隨機抽取2人,則這2人都來自于第三組的概率是多少?
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【題目】某餐廳通過查閱了最近5次食品交易會參會人數(shù) (萬人)與餐廳所用原材料數(shù)量 (袋),得到如下統(tǒng)計表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
參會人數(shù) (萬人) | 13 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料 (袋) | 32 | 23 | 18 | 24 | 28 |
(1)根據(jù)所給5組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程.
(2)已知購買原材料的費用 (元)與數(shù)量 (袋)的關(guān)系為,
投入使用的每袋原材料相應(yīng)的銷售收入為700元,多余的原材料只能無償返還,據(jù)悉本次交易大會大約有15萬人參加,根據(jù)(1)中求出的線性回歸方程,預(yù)測餐廳應(yīng)購買多少袋原材料,才能獲得最大利潤,最大利潤是多少?(注:利潤銷售收入原材料費用).
參考公式: , .
參考數(shù)據(jù): , , .
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