Question

對(duì)于函數(shù)f（x），g（x）和區(qū)間D，如果存在x₀∈D，使得|f（x₀）-g（x₀）|≤1，則稱(chēng)x₀是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間D上的“親密點(diǎn)”．現(xiàn)給出四對(duì)函數(shù)：
①f（x）=x²，g（x）=2x-2； ②f（x）=

x

，g（x）=x+2；
③f（x）=e^x，g（x）=x+1；  ④f（x）=lnx，g（x）=x
則在區(qū)間（0，+∞）上存在唯一“親密點(diǎn)”的是（　�。�

• A、①③
• B、③④
• C、①④
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專(zhuān)題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：①由f（x）-g（x）≥1，判斷兩函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上的存在唯一“親密點(diǎn)”；
②由g（x）-f（x）＞1，判斷兩函數(shù)不存在“親密點(diǎn)”；
③設(shè)h（x）=f（x）-g（x），x→0時(shí)，h（x）→0，判斷兩函數(shù)的“親密點(diǎn)”不唯一；
④設(shè)h（x）=g（x）-f（x），得h（x）的最小值為h（1）=1，判斷兩函數(shù)的“親密點(diǎn)”唯一．

解答： 解：對(duì)于①，f（x）-g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，
要使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，則只有當(dāng)x₀=1時(shí)，滿(mǎn)足條件，
∴在區(qū)間（0，+∞）上的存在唯一“親密點(diǎn)”，∴①滿(mǎn)足題意；
對(duì)于②，g（x）-f（x）=x-

x

+2=(

x

-

1

2

)2+

7

4

≥

7

4

＞1，
∴不存在x₀∈D，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，
∴函數(shù)不存在“親密點(diǎn)”，∴②不滿(mǎn)足題意；
對(duì)于③，設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x-1，
∴h′（x）=e^x-1，且x＞0時(shí)，h′（x）＞0；
∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴x→0時(shí)，h（x）→0，
∴使|f（x₀）-g（x₀）|≤1的x₀不唯一，∴③不滿(mǎn)足題意；
對(duì)于④，設(shè)h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx，（x＞0），
則h′（x）=1-

1

x

，令h′（x）＞0，得x＞1，令h′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值，且為最小值，最小值為h（1）=1-0=1，
∴g（x）-f（x）≥1，
即x₀=1時(shí)，|f（x₀）-g（x₀）|≤1的x₀唯一，∴④滿(mǎn)足題意．
綜上，命題題意的函數(shù)序號(hào)為①④．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義的函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了導(dǎo)數(shù)的概念與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．