Question

18．關(guān)于數(shù)列有下面四個(gè)判斷：
①若a，b，c，d成等比數(shù)列，則a+b，b+c，c+d也成等比數(shù)列；
②若數(shù)列{a_n}既是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列，則{a_n}為常數(shù)列；
③若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=aⁿ-1（a∈R），則{a_n}為等差或等比數(shù)列；
④數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且公差不為零，則數(shù)列{a_n}中不含有a_m=a_n（m≠n）．
其中正確判斷序號(hào)是②④．

Answer 1

分析 ①對(duì)于數(shù)列-1，1，-1，1，滿足a，b，c，d成等比數(shù)列，但是a+b，b+c，c+d不是等比數(shù)列．
②若數(shù)列{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n}必是非零的常數(shù)列，即可判斷出正誤．
③當(dāng)a=0時(shí)，數(shù)列{a_n}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列．
④在等差數(shù)列中，若a_m=a_n，可得a₁+（m-1）d=a₁+（n-1）d，d≠0，可得m=n，與m≠n矛盾，即可判斷出正誤．

解答 解：①對(duì)于數(shù)列-1，1，-1，1，滿足a，b，c，d成等比數(shù)列，但a+b=0，b+c=0，c+d=0，所以a+b，b+c，c+d不是等比數(shù)列，所以①錯(cuò)誤．
②若數(shù)列{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n}必是非零的常數(shù)列，所以a_n=a_n+1成立，所以②正確．
③當(dāng)a=0時(shí)，數(shù)列{a_n}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，所以③錯(cuò)誤．
④在等差數(shù)列中，若a_m=a_n，則a₁+（m-1）d=a₁+（n-1）d，因?yàn)閐≠0，所以m=n，與m≠n矛盾，所以④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．