Question

1．如圖1，平面五邊形ABCDE中，AB∥CE，且$AE=2，∠AEC={60°}，CD=ED=\sqrt{7}$，$cos∠EDC=\frac{5}{7}$．將△CDE沿CE折起，使點D到P的位置如圖2，且$AP=\sqrt{3}$，得到四棱錐P-ABCE．

（1）求證：AP⊥平面ABCE；
（2）記平面PAB與平面PCE相交于直線l，求證：AB∥l．

Answer 1

分析 （1）在△CDE中，由已知結(jié)合余弦定理得CE．連接AC，可得AC=2．在△PAE中，由PA²+AE²=PE²，得AP⊥AE．同理，AP⊥AC，然后利用線面垂直的判定可得AP⊥平面ABCE；
（2）由AB∥CE，且CE?平面PCE，AB?平面PCE，可得AB∥平面PCE，又平面PAB∩平面PCE=l，結(jié)合面面平行的性質(zhì)可得AB∥l．

解答 證明：（1）在△CDE中，∵$CD=ED=\sqrt{7}$，$cos∠EDC=\frac{5}{7}$，
∴由余弦定理得CE=$\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}+（\sqrt{7}）^{2}-2×\sqrt{7}×\sqrt{7}×\frac{5}{7}}$=2．
連接AC，∵AE=2，∠AEC=60°，∴AC=2．
又∵$AP=\sqrt{3}$，∴在△PAE中，PA²+AE²=PE²，
即AP⊥AE．
同理，AP⊥AC，
∵AC?平面ABCE，AE?平面ABCE，
且AC∩AE=A，
故AP⊥平面ABCE；
（2）∵AB∥CE，且CE?平面PCE，AB?平面PCE，
∴AB∥平面PCE，
又平面PAB∩平面PCE=l，
∴AB∥l．

點評 本題考查線面垂直的判定，面面平行的性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，關(guān)鍵是明確折疊問題折疊前后的變量與不變量，是中檔題．