Question

16．銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足（a-b）（sinA+sinB）=（c-b）sinC，若$a=\sqrt{3}$，則b²+c²的取值范圍是（　�。�

• A． （5，6]
• B． （3，5）
• C． （3，6]
• D． [5，6]

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理可得b²+c²-a²=bc．再利用余弦定理可得cosA，進(jìn)而可求A，利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得b²+c²=4+2sin（2B-$\frac{π}{6}$），利用B的范圍，可求2B-$\frac{π}{6}$的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求其范圍．

解答 解：∵（a-b）（sinA+sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理可得：（a-b）（a+b）=（c-b）c，化為b²+c²-a²=bc．
由余弦定理可得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A為銳角，可得A=$\frac{π}{3}$，
∵$a=\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{sinB}=\frac{c}{sin（\frac{2π}{3}-B）}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
∴可得：b²+c²=（2sinB）²+[2sin（$\frac{2π}{3}$-B）]²=3+2sin²B+$\sqrt{3}$sin2B=4+2sin（2B-$\frac{π}{6}$），
∵B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），可得：2B-$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，可得：b²+c²=4+2sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（5，6]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．