Question

15．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=5，前n項(xiàng)和為Sn，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）令b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），變形為S_n+1+n+7=2（S_n+n+6），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：S_n，再利用遞推關(guān)系可得a_n．
（II）b_n=na_n=3n×2ⁿ-n，令數(shù)列{n×2ⁿ}的前n項(xiàng)和為A_n，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得A_n．即可得出．

解答 解：（I）由S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），變形為S_n+1+n+7=2（S_n+n+6），
∴數(shù)列{S_n+n+6}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為12，公比為2．
∴S_n+n+6=12×2^n-1=3×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=3×2ⁿ⁺¹-n-6，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3×2ⁿ⁺¹-n-6-[3×2ⁿ-（n-1）-6]=3×2ⁿ-1，
當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴a_n=3×2ⁿ-1．
（II）b_n=na_n=3n×2ⁿ-n，
令數(shù)列{n×2ⁿ}的前n項(xiàng)和為A_n，
則A_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=（3n-3）•2ⁿ⁺¹+6-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．