Question

（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)（a為實(shí)常數(shù)）。

（1）若a=1，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，設(shè)在區(qū)間的最小值為，求的表達(dá)式；

（3）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

 

Answer 1

（1）的增區(qū)間為：和，減區(qū)間為：和;

（2）;

（3）.

【解析】

試題分析：(1)當(dāng)a=1時(shí)化簡(jiǎn)函數(shù)式，由此可畫(huà)出圖像如下

由圖觀察可得的增區(qū)間為：和，減區(qū)間為：和.

(2)當(dāng)時(shí)，，函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸不定而區(qū)間確定，故分三種情況討論，結(jié)合圖像，利用單調(diào)性可得.

(3) 當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，可得h(x)=ax+-1，h(x)在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，故在區(qū)間[1，2]上任取x1，x2，且x1＜x2，則h(x2)-h(x1) =(x2-x1)＞0，由題意可化為ax1x2＞2a-1，對(duì)a分情況討論得：

當(dāng)a=0時(shí)，結(jié)論成立．當(dāng)a＞0時(shí)，x1x2＞，由1＜x1x2＜4得，≤1，解得0＜a≤1，當(dāng)a＜0時(shí)，x1x2＜，由1＜x1x2＜4得，≥4，解得，取并集可得a的取值范圍為.

試題解析: （1）當(dāng)a=1時(shí)，

作圖（如圖所示）

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011806195640859778/SYS201501180620233314738831_DA/SYS201501180620233314738831_DA.020.png">，所以，又

①當(dāng)，即時(shí)，在上遞增，在上遞減

所以

②當(dāng)，即時(shí)，在上遞增，所以

③當(dāng)，即時(shí)，在上遞減，所以

綜上： 9分

（3），在區(qū)間上任取，且，

則

，（*） 10分

∵在上是增函數(shù)，，

∴（*）可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，且都成立，

即，

①當(dāng)時(shí)，上式顯然成立 11分

②當(dāng)時(shí)，，由，得，解得 12分

③當(dāng)時(shí)，，，得 13分

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 14分

考點(diǎn)：含絕對(duì)值的函數(shù)的圖像和性質(zhì)及分類(lèi)討論思想.