Question

5．△ABC中，AB=8，AC=6，AD垂直BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，若$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=6，則BC=（　�。�

• A． 2$\sqrt{13}$
• B． 10
• C． 2$\sqrt{37}$
• D． 14

Answer 1

分析 根據(jù)條件，可分別以BC，DA所在直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)BD=a，這樣由條件便可表示出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出向量$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DF}$的坐標(biāo)，這樣由$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DF}=6$便可建立關(guān)于a的方程，解出a即可求出BC的大�。�

解答 解：如圖，分別以BC，DA所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)BD=a，
則：
$D（0，0），B（-a，0），A（0，\sqrt{64-{a}^{2}}），E（-\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{64-{a}^{2}}}{2}）$$，C（\sqrt{{a}^{2}-28}，0），F(xiàn)（\frac{\sqrt{{a}^{2}-28}}{2}，\frac{\sqrt{64-{a}^{2}}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{DE}=（-\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{64-{a}^{2}}}{2}），\overrightarrow{DF}=（\frac{\sqrt{{a}^{2}-28}}{2}，\frac{\sqrt{64-{a}^{2}}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DF}=-\frac{a\sqrt{{a}^{2}-28}}{4}+\frac{64-{a}^{2}}{4}=6$；
解得$a=\frac{20}{\sqrt{13}}$，∴$DC=\frac{6}{\sqrt{13}}$；
∴$BC=\frac{26}{\sqrt{13}}=2\sqrt{13}$．
故選A．

點(diǎn)評 考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)解決向量問題的方法，能求平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可求向量的坐標(biāo)，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，直角三角形邊的關(guān)系．