Question

14．如圖，一平面與空間四邊形ABCD的對角線AC，BD都平行，且交空間四邊形的邊AB，BC，CD，DA分別于E，F(xiàn)，G，H．
（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）若E是邊AB的中點，AC=6，BD=8，異面直線AC與BD所成的角為60°，求線段EG的長度．

Answer 1

分析 （1）連接AC，BD，得到AD，CD，AC確定一個平面，推導(dǎo)出EF∥HG，EH∥GF，由此能證明四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）推導(dǎo)出EF=3，F(xiàn)G=4，∠EFG=60°，由此利用余弦定理能求出線段EG的長度．

解答 證明：（1）連接AC，BD 
∵AD，CD，AC兩兩相交，∴AD，CD，AC確定一個平面，
又∵平面EFGH與空間四邊形ABCD的對角線AC，BD都平行，
且交空間四邊形的邊AB，BC，CD，DA分別于E，F(xiàn)，G，H，
∴AC∥平面EFGH，GH?平面ADC，AC?平面ADC，
∴AC∥GH，同理，EF∥AC，
∴EF∥HG，同理，EH∥GF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形．
解：（2）∵E是邊AB的中點，AC=6，BD=8，異面直線AC與BD所成的角為60°，
由（1）得H、G、F分別是AD、DC、BC的中點，
∴EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}AC$=3，F(xiàn)G∥BD，且FG=$\frac{1}{2}BD$=4，
∴∠EFG=60°，
∴EG=$\sqrt{E{F}^{2}+F{G}^{2}-2×EF×FG×cos60°}$=$\sqrt{9+16-2×3×4×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴線段EG的長度為$\sqrt{13}$．

點評 本題考查四邊形為平行四邊形的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．