Question

20．已知直線l經(jīng)過A（4，0），B（0，3），求直線l₁的方程，使得：
（Ⅰ）l₁∥l，且經(jīng)過點C（-1，3）；
（Ⅱ）l₁⊥l，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為6．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得到直線l的方程，設(shè)出與l平行的直線l₁的方程，代入點C的坐標求解；
（Ⅱ）設(shè)出與l垂直的直線l₁的方程$\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=n$，求出直線在兩坐標軸上的截距，代入三角形面積公式，求出n的值得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，直線l的方程為$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$，
設(shè)直線l₁的方程為$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=m$．
∵直線l₁經(jīng)過點C（-1，3），
∴$m=\frac{-1}{4}+\frac{3}{3}=\frac{3}{4}$．
故直線l₁的方程為$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=\frac{3}{4}$，即3x+4y-9=0；
（Ⅱ）設(shè)直線l₁的方程為$\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=n$，
當x=0時，y=-4n；當y=0時，x=3n．
直線l₁與兩坐標軸圍成的三角形的面積為$S=\frac{1}{2}|3n|•|-4n|=6$，即n²=1．
解得：n=±1．
故直線l₁的方程為$\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=±1$，即4x-3y-12=0或4x-3y+12=0．

點評 本題考查直線的一般式方程與直線平行、垂直的關(guān)系，由題意靈活設(shè)出直線方程是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．