如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D、E兩點(diǎn)．

（Ⅰ）若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）記△GFD的面積為S1，△OED（O為原點(diǎn)）的面積為S2．
試問：是否存在直線AB，使得S1=S2？說明理由．

（Ⅰ）．
（Ⅱ）不存在直線，使得 ．        12分

解析試題分析：（Ⅰ）依題意，直線的斜率存在，設(shè)其方程為．
將其代入，
整理得 ．
設(shè)，，  所以 ．        4分
故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
依題意，得，
解得 ．           6分
（Ⅱ）解：假設(shè)存在直線，使得 ，顯然直線不能與軸垂直．

由（Ⅰ）可得 ．
因?yàn)?，所以 ，
解得 ，      即 ．
因?yàn)?△∽△，
所以 ．
所以 ，
整理得 ．
因?yàn)榇朔匠虩o解，所以不存在直線，使得 ．        12分
考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積計(jì)算。
點(diǎn)評：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（2）利用弦長公式，確定得到三角形面積表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)對“存在性問題”的研究。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線的斜率；
（2）記△的面積為，△（為原點(diǎn)）的面積為．試問：是否存在直線，使得？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)（），直線:，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，是線段與軸的交點(diǎn), 過、分別作直線、，使， .

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）在直線上任取一點(diǎn)做曲線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為、，求證：直線恒過一定點(diǎn)；
(3)對（2）求證：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn)，已知向量，若且橢圓的離心率，短軸長為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）試問△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

分別求適合下列條件圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點(diǎn)為、且過點(diǎn)橢圓；
（2）與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

曲線都是以原點(diǎn)O為對稱中心、坐標(biāo)軸為對稱軸、離心率相等的橢圓.點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0,1）,線段MN是曲線的短軸，并且是曲線的長軸 . 直線與曲線交于A,D兩點(diǎn)（A在D的左側(cè)），與曲線交于B,C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)）．
（1）當(dāng)=，時(shí)，求橢圓的方程；
（2）若，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），它與曲線交于A、B兩點(diǎn)。
（1）求的長；
（2）在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的短軸長等于焦距，橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點(diǎn)且斜率為(＞0)的直線與C交于兩點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知兩定點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿足，由點(diǎn)向軸作垂線段，垂足為，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為.
（1）求曲線的方程;
（2）過點(diǎn)作直線與曲線交于,兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足（為原點(diǎn)），求四邊形面積的最大值，并求此時(shí)的直線的方程.

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同步練習(xí)冊答案