如圖,已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為G,AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D、E兩點(diǎn).
(Ⅰ)若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為,求直線AB的斜率;
(Ⅱ)記△GFD的面積為S1,△OED(O為原點(diǎn))的面積為S2.
試問:是否存在直線AB,使得S1=S2?說明理由.
(Ⅰ).
(Ⅱ)不存在直線,使得
. 12分
解析試題分析:(Ⅰ)依題意,直線的斜率存在,設(shè)其方程為
.
將其代入,
整理得 .
設(shè),
, 所以
. 4分
故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
.
依題意,得,
解得 . 6分
(Ⅱ)解:假設(shè)存在直線,使得
,顯然直線
不能與
軸垂直.
由(Ⅰ)可得 .
因?yàn)?,所以
,
解得 , 即
.
因?yàn)?△∽△
,
所以 .
所以 ,
整理得 .
因?yàn)榇朔匠虩o解,所以不存在直線,使得
. 12分
考點(diǎn):本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,三角形面積計(jì)算。
點(diǎn)評:中檔題,曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。本題(2)利用弦長公式,確定得到三角形面積表達(dá)式,實(shí)現(xiàn)對“存在性問題”的研究。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓的左焦點(diǎn)為
,過點(diǎn)
的直線交橢圓于
兩點(diǎn),線段
的中點(diǎn)為
,
的中垂線與
軸和
軸分別交于
兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
,求直線
的斜率;
(2)記△的面積為
,△
(
為原點(diǎn))的面積為
.試問:是否存在直線
,使得
?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)
(
),直線
:
,點(diǎn)
在直線
上移動,
是線段
與
軸的交點(diǎn), 過
、
分別作直線
、
,使
,
.
(1)求動點(diǎn)的軌跡
的方程;
(2)在直線上任取一點(diǎn)
做曲線
的兩條切線,設(shè)切點(diǎn)為
、
,求證:直線
恒過一定點(diǎn);
(3)對(2)求證:當(dāng)直線的斜率存在時,直線
的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)是橢圓
上的兩點(diǎn),已知向量
,若
且橢圓的離心率
,短軸長為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)試問△AOB的面積是否為定值?如果是,請給予證明;如果不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
分別求適合下列條件圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)焦點(diǎn)為、
且過點(diǎn)
橢圓;
(2)與雙曲線有相同的漸近線,且過點(diǎn)
的雙曲線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
曲線都是以原點(diǎn)O為對稱中心、坐標(biāo)軸為對稱軸、離心率相等的橢圓.點(diǎn)M的坐標(biāo)是(0,1),線段MN是曲線
的短軸,并且是曲線
的長軸 . 直線
與曲線
交于A,D兩點(diǎn)(A在D的左側(cè)),與曲線
交于B,C兩點(diǎn)(B在C的左側(cè)).
(1)當(dāng)=
,
時,求橢圓
的方程;
(2)若,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(t為參數(shù)),它與曲線
交于A、B兩點(diǎn)。
(1)求的長;
(2)在以為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為
,求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:的短軸長等于焦距,橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)
的最短距離為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)且斜率為
(
>0)的直線
與C交于
兩點(diǎn),
是點(diǎn)
關(guān)于
軸的對稱點(diǎn),證明:
三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知兩定點(diǎn),
,動點(diǎn)
滿足
,由點(diǎn)
向
軸作垂線段
,垂足為
,點(diǎn)
滿足
,點(diǎn)
的軌跡為
.
(1)求曲線的方程;
(2)過點(diǎn)作直線
與曲線
交于
,
兩點(diǎn),點(diǎn)
滿足
(
為原點(diǎn)),求四邊形
面積的最大值,并求此時的直線
的方程.
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