Question

11．某中學為研究學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系，對該校200名學生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間（單位：分鐘）進行調查，將收集到的數據分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六組，并作出頻率分布直方圖（如圖）．將日均課外體育鍛煉時間不低于40分鐘的學生評價為“課外體育達標”．
（1）請根據直方圖中的數據填寫下面的2×2列聯表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關？

	課外體育不達標	課外體育達標	合計
男	60	30	90
女	90	20	110
合計	150	50	200

（2）現從課外體育達標學生中按分層抽樣抽取5人，再從這5名學生中隨機抽取2人參加體育知識問卷調查，求抽取的這2人課外鍛煉時間都在[40，50）內的概率．
附參考公式與數據：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）根據頻率分布直方圖，計算對應的數據，填寫2×2列聯表，計算觀測值K²，對照數表得出結論；
（2）根據分層抽樣以及列舉法求出對應的基本事件數，計算對應的概率值．

解答 解：（1）根據頻率分布直方圖，得；
“課外體育達標”的學生數為200×（0.020+0.005）×10=50，
其中男生人數為30，女生人數為20，
填寫2×2列聯表如下；

	課外體育不達標	課外體育達標	合計
男	60	30	90
女	90	20	110
合計	150	50	200

計算觀測值：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{200{×（60×20-90×30）}^{2}}{90×110×150×50}$≈6.6061＜6.635，
所以不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關；
（2）從課外體育達標學生中按分層抽樣抽取5人，其中課外鍛煉時間在[40，50）內有5×$\frac{0.020}{0.020+0.005}$=4人，
分別記為a、b、c、d，在[50，60）內有1人，記為E；
從這5人中抽取2人，基本事件是ab、ac、ad、aE、bc、bd、bE、cd、cE、dE共10種，
其中2人都在[40，50）內的基本事件是ab、ac、ad、bc、bd、cd共6種，
故所求的概率為P=$\frac{6}{10}$=0.6．

點評 本題考查了頻率分布直方圖與獨立性檢驗的應用問題，也考查了用列舉法求古典概型的概率問題，是基礎題目．