Question

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．規(guī)定 PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米及其以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．某市環(huán)保局從過(guò)去一年的市區(qū)PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）.10個(gè)數(shù)據(jù)中有x，y兩個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，但知道這10個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為45．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）從這10個(gè)數(shù)據(jù)中抽取3天的數(shù)據(jù)，求至少有1天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率；
（Ⅲ）把頻率當(dāng)成概率來(lái)估計(jì)該市的空氣質(zhì)量情況，記ξ表示該市空氣質(zhì)量未來(lái)3天達(dá)到一級(jí)的天數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意可知

40+x+44

2

=45，據(jù)此求出x的值即可；
（Ⅱ）首先求出沒(méi)有一天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率為多少，用減去所求的值，即為至少有1天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率；
（Ⅲ）分別求出ξ=0，1，2，3時(shí)的概率，然后求出ξ的分布列，最后用ξ的值乘以其概率，求和即可求出數(shù)學(xué)期望的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知

40+x+44

2

=45，
解得x=6；
（Ⅱ）沒(méi)有一天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率為

C 3 7

C 3 10

=

7

24

，
至少有一天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率為1-

7

24

=

17

24

；
（Ⅲ）ξ=0，1，2，3                                   
P（ξ=0）=(

3

5

)3=

27

125

，P（ξ=1）=

C

1 3

•

2

5

•(

3

5

)2=

54

125

，
P（ξ=2）=

C

2 3

•(

2

5

)2•

3

5

=

36

125

，P（ξ=3）=(

2

5

)3=

8

125

，
所以ξ的分布列為

P	0	1	2	3
ξ	27 125	54 125	36 125	8 125

所以數(shù)學(xué)期望E（ξ）=0×

27

125

+1×

54

125

+2×

36

125

+3×

8

125

=

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查莖葉圖、樣本中位數(shù)、古典概型，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí)，以及必然與或然思想等，屬于中檔題．