Question

設等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=

1

3

，且S₁，2S₂，3S₃成等差數(shù)列．
（1）求a_n；
（2）設b_n=

n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得4S₂=S₁+3S₂，由此求出公比，從而能求出an=

1

3

•(

1

3

)n-1=

1

3n

．
（2）由b_n=

n

an

=n•3ⁿ，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=

1

3

，
且S₁，2S₂，3S₃成等差數(shù)列，
∴4S₂=S₁+3S₂，
若q=1，則an=a1=

1

3

，S1=

1

3

，S2=

2

3

，S3=1，
∴4S₂=

8

3

≠S1+3

S

3

=

10

3

，
∴q≠1，

4a1(1-q2)

1-q

=a1+

3a1(1-q3)

1-q

，
∴4（1+q）=1+3（1+q+q²），
整理，得3q²-q=0，解得q=

1

3

，q=0（舍），
∴an=

1

3

•(

1

3

)n-1=

1

3n

．
（2）∵b_n=

n

an

=n•3ⁿ，
∴Tn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n，①
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=

3(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹，
∴Tn=(

n

2

-

1

4

)•3n+1+

3

4

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．