Question

5．周期函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，周期為2，且當(dāng)-1＜x≤1時(shí)，f（x）=1-x²．若直線y=-x+a與曲線y=f（x）恰有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． 2k+$\frac{3}{4}$＜a＜2k+$\frac{5}{4}$，k∈Z
• B． 2k+1＜a＜2k+3，k∈Z
• C． 2k+1＜a＜2k+$\frac{5}{4}$，k∈Z
• D． 2k-$\frac{3}{4}$＜a＜2k+1，k∈Z

Answer 1

分析 由題意畫出函數(shù)f（x）的圖象，并在圖中畫出關(guān)鍵直線，再由條件轉(zhuǎn)化為求出相切時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，然后再把坐標(biāo)代入切線方程求出a的值，

解答 解：由題意畫出函數(shù)f（x）的圖象，如下圖：

其中圖中的直線l的方程為：y=-x+1，此時(shí)恰有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖得，當(dāng)-1＜x≤1時(shí)，直線l向上平移過程中與曲線y=f（x）恰有3個(gè)交點(diǎn)，
直到相切時(shí)，
設(shè)切點(diǎn)為p（x，y），則f′（x）=-2x，
∴-1=-2x，解得x=$\frac{1}{2}$，即y=f（$\frac{1}{2}$）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴p（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），代入切線y=-x+a，解得a=$\frac{5}{4}$，
∵f（x）的定義域?yàn)镽，周期為2，
∴所求的a的集合是：2k+1＜a＜2k+$\frac{5}{4}$，k∈Z，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)以及圖象的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了數(shù)形結(jié)合思想，關(guān)鍵正確作圖．