Question

8．P，Q為橢圓上的任意兩點(diǎn)，延長PQ交焦點(diǎn)F所對應(yīng)的準(zhǔn)線于點(diǎn)R，求證：FR為∠PFQ的外角平分線．

Answer 1

分析 可設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），右焦點(diǎn)F（c，0），右準(zhǔn)線為l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，過P，Q向準(zhǔn)線分別作垂線PP₁，QQ₁交準(zhǔn)線于P₁，Q₁，由橢圓的第二定義，結(jié)合平行線分線段成比例，以及外角平分線的判定定理，即可得證．

解答 證明：可設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
右焦點(diǎn)F（c，0），右準(zhǔn)線為l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
過P，Q向準(zhǔn)線分別作垂線PP₁，QQ₁交準(zhǔn)線于P₁，Q₁，
由橢圓的第二定義，可得e=$\frac{PF}{P{P}_{1}}$=$\frac{QF}{Q{Q}_{1}}$，
即有$\frac{QF}{PF}$=$\frac{Q{Q}_{1}}{P{P}_{1}}$，
又QQ₁∥PP₁，可得
$\frac{Q{Q}_{1}}{P{P}_{1}}$=$\frac{QR}{PR}$，
即有$\frac{QF}{PF}$=$\frac{QR}{PR}$，
由外角平分線的判定定理，
可得FR為∠PFQ的外角平分線．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查定義法的運(yùn)用，以及平行線分線段成比例，同時考查外角平分線的判定定理，屬于中檔題．