Question

9．命題“?x∈（1，+∞），都有x²-lnx＞$\frac{a}{x}$成立”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，1）
• C． [1，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 命題“?x∈（1，+∞），都有x²-lnx＞$\frac{a}{x}$成立”為真命題?“?x∈（1，+∞），都有a＜x³-xlnx恒成立“，令f（x）=x³-xlnx，（x＞1），求出f（x）的值域即可．

解答 解：命題“?x∈（1，+∞），都有x²-lnx＞$\frac{a}{x}$成立”為真命題?“?x∈（1，+∞），都有a＜x³-xlnx恒成立“，
令f（x）=x³-xlnx，（x＞1），f′（x）=3x²-lnx-1，），f″（x）=6x-$\frac{1}{x}$＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上遞增，且f′（1）=2＞0，
∴f′（x）＞0在∈（1，+∞）上恒成立，f（x）在（1，+∞）上遞增，f（x）＞f（1）=1，∴a≤1．
故選：A．

點評 本題考查了全稱命題成立，求參數(shù)范圍，轉化為恒成立問題是關鍵，屬于基礎題．