已知函數(shù)f(x)=3x,且f-1(a+2)=18,g(x)=3ax-4x的定義域為[0,1].
(1)求g(x)的解析式;
(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間,確定其單調(diào)性并用定義證明;
(3)求g(x)的值域.
解:(1)∵f(x)=3
x且f(a+2)=3
a+2=18,
∴3
a=2.
∵g(x)=3
ax-4
x=(3
a)
x-4
x,
∴g(x)=2
x-4
x.
(2)∵函數(shù)g(x)的定義域為[0,1],令t=2
x,
∵x∈[0,1],函數(shù)t在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,
且t∈[1,2],則g(x)=t-t
2在[1,2]上單調(diào)遞減,
∴g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減.
證明如下:設x
1,x
2∈[0,1]且x
1<x
2,則
g(x
2)-g(x
1)
=
=
∵0≤x
1<x
2≤1,
∴
,
且
.
∴
.
∴
,可知
.
∴g(x
2)<g(x
1).
∴函數(shù)g(x)在[0,1]上為減函數(shù).
(3)∵g(x)在[0,1]上為減函數(shù),
又x∈[0,1],
故有g(1)≤g(x)≤g(0).
∵g(0)=-2,g(0)=0,
∴函數(shù)g(x)的值域為[-2,0].
分析:(1)先由函數(shù)f(x)=3
x且f
-1(18)=a+2解出3
a的值,整體代入g(x)=3
ax-4x中得到g(x)=2
x-4x,
(2)對g(x)=2
x-4x求導,用導數(shù)判斷函數(shù)在[-1,1]上的單調(diào)性;
(3)由(2)的結(jié)論根據(jù)其單調(diào)性求值域.
點評:本題的考點是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用,考查運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域,合理的正確的轉(zhuǎn)化是求解成功的關鍵.