Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E的中心在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），其左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，且$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（-$\sqrt{3}$，0）的直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與圓O：x²+y²=r²（r＞0）相切于點(diǎn)Q，求r的值及△OPQ的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0，求出a，b，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=k（x+$\sqrt{3}$），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\sqrt{3}）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+4$\sqrt{3}{k}^{2}$x+6k²-2=0，由此利用根的判別式、直線與圓相切、兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合已知條件能求出r的值及△OPQ的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E的中心在原點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，
∴設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），∴b=1，
∵$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0，且AF₁=AF₂，
∴b=c=1，∴a²=1+1=2，
∴橢圓E的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=k（x+$\sqrt{3}$），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\sqrt{3}）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
整理，得（2k²+1）x²+4$\sqrt{3}{k}^{2}$x+6k²-2=0，①
∴$△=（4\sqrt{3}{k}^{2}）^{2}-4（2{k}^{2}+1）（6{k}^{2}-2）=8（1-{k}^{2}）$，
∵直線l與橢圓相切，∴△=0，解得k=±1，
代入方程①中，得到$3{x}^{2}+4\sqrt{3}x+4=0$，解得x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
代入直線l的方程中，得y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，即P（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$±\frac{\sqrt{3}}{3}$），
又∵直線l與圓x²+y²=r²相切，∴r=$\frac{|\sqrt{3}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵|OP|=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{3}}$，
∴|PQ|=$\sqrt{|OP{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
S_△OPA=$\frac{1}{2}×|PQ|×r=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題通過橢圓的定義及幾何性質(zhì)、圓與橢圓方程、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，考查無實(shí)據(jù)數(shù)形結(jié)合及函數(shù)與方程的思想方法，考查考生推理運(yùn)算及空間想象能力．