Question

11．若函數(shù)y=f（x），x∈A滿足：?x₁，x₂∈A，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]≤0恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）為定義在A上的“非增函數(shù)”，若函數(shù)f（x）是區(qū)間[0，1]上的“非增函數(shù)”，且f（0）=1，f（x）+f（1-x）=1，又當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{4}$]時(shí)，f（x）≤-2x+1恒成立，有下列命題：①?x∈（0，1]，f（x）≥0；②若x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；③f（$\frac{1}{8}$）+f（$\frac{5}{11}$）+f（$\frac{7}{13}$）+f（$\frac{7}{8}$）=2．其中正確的是（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 根據(jù)“非增函數(shù)”的定義，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答 解：①，∵f（0）=1，f（x）+f（1-x）=1，
∴f（0）+f（1）=1，即f（1）=0，
∴對(duì)?x∈[0，1]，根據(jù)“非增函數(shù)”的定義知f（x）≥f（1）=0．故①正確；
②∵當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{4}$]時(shí)，f（x）≤-2x+1恒成立，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時(shí)，f（$\frac{1}{4}$）≤-2×$\frac{1}{4}$+1=$\frac{1}{2}$，
又f（x）+f（l-x）=l，∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
由而$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$，由“非增函數(shù)”的定義可知，f（$\frac{1}{4}$）≥$\frac{1}{2}$．
所以f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
同理有f（$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]時(shí)，由“非增函數(shù)”的定義可知，f（$\frac{1}{4}$）≤f（x）≤f（$\frac{3}{4}$），∴f（x）=$\frac{1}{2}$．所以②不正確；
③由②中，當(dāng)x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$．可得：f（$\frac{5}{11}$）=f（$\frac{7}{13}$）=$\frac{1}{2}$，
由f（x）+f（1-x）=1得：f（$\frac{1}{8}$）+f（$\frac{7}{8}$）=1，
故f（$\frac{1}{8}$）+f（$\frac{5}{11}$）+f（$\frac{7}{13}$）+f（$\frac{7}{8}$）=2，故③正確；
故正確命題有：①③，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判斷與運(yùn)用，涉及抽象函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，正確理解新定義是解決本題的關(guān)鍵．，考查了學(xué)生的抽象思維能力，難度較大．