Question

16．在數(shù)列{a_n}中，a₁＜-|k|，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{{k}^{2}}{{a}_{n}}$）（n∈N^*，k∈R，k≠0）
（1）判斷數(shù)列{a_n}的增減性，并說明理由；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＞2a₁+（2-n）|k|．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)學(xué)歸納法及其不等式的性質(zhì)證明：數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，即a_n+1＞a_n．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法及其不等式的性質(zhì)即可證明．

解答 （1）解：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，即a_n+1＞a_n．
①∵a₁＜-|k|，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{{k}^{2}}{{a}_{n}}$）（n∈N^*，k∈R，k≠0），
∴${a}_{1}^{2}＞{k}^{2}$，0＞a₂=$\frac{1}{2}$$（{a}_{1}+\frac{{k}^{2}}{{a}_{1}}）$=-$\frac{1}{2}（-{a}_{1}+\frac{{k}^{2}}{-{a}_{1}}）$＞$-\frac{1}{2}（-{a}_{1}+\frac{{a}_{1}^{2}}{-{a}_{1}}）$=a₁．
②假設(shè)n=m∈N^*時，0＞${a}_{m+1}＞{a}_{m}＞{k}^{2}$．
則n=m+1時，a_m+2=$\frac{1}{2}（{a}_{m+1}+\frac{{k}^{2}}{{a}_{m+1}}）$=-$\frac{1}{2}（-{a}_{m+1}+\frac{{k}^{2}}{-{a}_{m+1}}）$＞$-\frac{1}{2}（-{a}_{m+1}+\frac{{a}_{m+1}^{2}}{-{a}_{m+1}}）$=-a_m+1．
∴n=m+1時，假設(shè)成立．
綜上可得：數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．
（2）證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：S_n＞2a₁+（2-n）|k|．
①當(dāng)n=1時，2a₁+（2-1）|k|-a₁=a₁+|k|＜0，成立．
②假設(shè)當(dāng)n=m時，S_m＞2a₁+（2-m）|k|．
則S_m+1=S_m+a_m+1＞2a₁+（2-m）|k|+$\frac{1}{2}（{a}_{m}+\frac{{k}^{2}}{{a}_{m}}）$＞2a₁+（2-m）|k|-|k|=2a₁+[2-（m+1）]|k|．
綜上可得：對于任意正整數(shù)n，S_n＞2a₁+（2-n）|k|都成立．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．