Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a₂=

1

4

，且a_n+1=

(n-1)an

n-an

（n≥2）．
（Ⅰ）求a₃、a₄，猜想a_n的表達式，并加以證明；
（Ⅱ）設b_n=

1

1 an + 1 an+1

，求證：對任意的自然數n∈N^*都有b₁+b₂+…+b_n＜

n 3

．

Answer 1

考點：數學歸納法,數列遞推式,歸納推理

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）依題意，易求得a₃=

1

7

，a₄=

1

10

，于是可猜想an=

1

3n-2

；再利用數學歸納法證明即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=

1

3n+1 + 3n-2

=

1

3

(

3n+1

-

3n-2

)，于是可得b₁+b₂+…+b_n=

1

3

(

3n+1

-1)，只需證明

1

3

(

3n+1

-1)＜

n 3

即可．

解答： （Ⅰ）解：∵數列{a_n}中，a₁=1，a₂=

1

4

，且a_n+1=

(n-1)an

n-an

（n≥2），
∴a₃=

(2-1)a2

2-a2

=

1 4

2- 1 4

=

1

7

，同理可求a₄=

1

10

，
故可以猜測an=

1

3n-2

…（2分）
下面用數學歸納法證明：顯然當n=1時，結論成立．…（3分）
假設當n=k（k≥1）時結論成立，即ak=

1

3k-2

，
當n=k+1時，ak+1=

(k-1)ak

k-ak

=

k-1

3k2-2k-1

=

1

3(k+1)-2

…（5分）
即當n=k+1時，結論也成立，綜合可得an=

1

3n-2

成立．…（6分）
（Ⅱ）證明：∵bn=

1

3n+1 + 3n-2

=

1

3

(

3n+1

-

3n-2

)，…（8分）
∴b₁+b₂+…+bn=

1

3

[(

4

-1)+(

7

-

4

)+…+(

3n+1

-

3n-2

)]=

1

3

(

3n+1

-1)=

1

3

(

3n+1

-1)，
要證b₁+b₂+…+b_n＜

n 3

成立，
只需證明

1

3

(

3n+1

-1)＜

n 3

，即證

3n+1

＜

3n

+1，…（10分）
即證3n+1＜3n+2

3n

+1，即證2

3n

＞0，該式顯然成立，故結論得證．…（12分）

點評：本題考查數列遞推關系的應用，考查運算、猜想及數學歸納法推理證明的能力，考查分析法，屬于中檔題．